中学入試や高校入試、さらには共通テスト等の数学で差がつくのが、円錐を底面に平行な平面で切り取った残りの立体である「円台（切頭円錐）」の体積計算です。
最も確実かつ計算ミスを防ぐ解法は、「相似比と体積比」の活用です。切断前の元の大きな円錐と、切り取られた上部の小さな円錐の相似比が$m : n$（$m > n$）であるとき、両者の体積比は相似比の3乗、すなわち$m^3 : n^3$となります。したがって、残された円台の体積は、元の円錐の体積の $\frac{m^3 - n^3}{m^3}$ 倍として一発で算出可能です。
直角台形を高さの軸周りに一回転させてできる回転体の体積も同様です。上底を$a$、下底を$b$、高さを$h$とする直角台形を回転させた場合、公式として以下の式が知られています。
$$V = \frac{1}{3} \pi h (a^2 + ab + b^2)$$
この式は一見複雑に見えますが、微積分における $\int_0^h \pi (y(x))^2 dx$ の定積分結果そのものであり、元の大きな円錐から頂点部の小さな円錐を引き算する代数変形（$b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$）から自然に導かれます。仕組みを理解しておけば、万が一直感的な図形解法をど忘れしても、代数的に素早く再現することが可能です。
